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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
「なに?」

漸化式(フィボナッチ数列)を線形代数(線形空間、固有ベクトル)で解く方法を解説

(\(W:= \mathbb^2\)とし、\(\varphi : V\to W\)を\(\\mapsto (a_0,a_1)\)によって定めると、\(\varphi\)は全単射な線形写像、すなわち同型写像です。このとき、\(T_A: フィボナッチ数列の一般項 W\to W\)を\(Tx=Ax\)により定めると、\(フィボナッチ数列の一般項 T_A \circ \varphi = \varphi \circ T\)が成立しています。つまり、\(V\)と\(W\)を同一視、すなわち数列の最初の2項のみに注目することで、数列のシフト\(T\)は行列\(A\)と同一視できるわけです。)

このとき、\(\\>=T(\)= \lambda \\)なので、任意の\(n\)に対して\(b_= \lambda b_n\)フィボナッチ数列の一般項 が成立しています。これを繰り返し用いれば、\(b_n = \lambda ^n b_1\)なので、固有ベクトルとなる数列の一般項が\(n\)によって表すことができるわけです。

\(T\)の固有ベクトルは、等比数列です。\(T\)の固有ベクトルを基底として\(W\)の元を表すことは、漸化式を満たす数列を等比数列の線形結合として表すことに対応しています。等比数列を定める漸化式は簡単に解けるので、そういう形に帰着させたいですね。

では、\(T\)の固有値・固有ベクトル、すなわち表現行列\(A\)の固有値・固有ベクトルを求めましょう。\(Ax = \lambda x\)を満たすような\(\lambda\)は、固有方程式、または特性方程式

によって求まるのでした。計算してみると、\(\mathrm (A-\lambda E) = \lambda ^2 -\lambda -1\)なので、固有方程式を解けば

です。これに対応する\(T\)の固有ベクトル、\(b_n =(\frac<1\pm \sqrt<5>> )^n b_1\)を満たしています。

まとめ・一般化

漸化式\(a_+b_1 a_+\cdots + b_n a_r =0\)によって定まる数列\(\\)を、最初の\(n\)項によって表したいという問題を考えます。

\[ \begin\lambda フィボナッチ数列の一般項 ^n + b_1 \lambda^+\cdots + b_ \lambda +b_n =0\end \]

\[ \begina_n = c_1\lambda_1 ^n + フィボナッチ数列の一般項 c_ 2 \lambda_2 ^n +\cdots + c_n \lambda_n^n\end \]

\(P^ A P =\begin \lambda_1 & 0 & \cdots&0 \\ 0 &\lambda_2& \ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots &\ddots& 0 \\ 0& \cdots& 0 & \lambda_n \end \)

と対角行列になるのでした(これを行列\(A\)の対角化という)。対角行列は、その\(n\)乗を簡単に計算できる(対角成分を\(n\)乗した行列になる)性質があります。したがって\(A^n\)が計算できるので、一般項が求められたわけです。

フィボナッチ数列の場合は重複する解を持ちませんでしたが、重複する解を持つ場合でも、工夫すれば一般解を求められます。対角化はできなくとも、\(A^n\)を計算しやすいような形にできれば良いわけです(対角化はできなくても、ブロック対角化はできる)。そのためには、広義固有空間、ジョルダン標準形の考え方が必要です。

また、今回漸化式で議論したことは、線形常微分方程式でも同じように扱えます。

解空間は\(n\)次元、シフト写像\(T\)は微分作用素\(x(t)\mapsto \frac (t)\)、等比数列に対応するのは指数関数\(e^<\lambda t>\)です。特性方程式を使った線形常微分方程式の一般解の求め方は、常微分方程式論の教科書や講義でも扱われます。

これまでの議論は、方程式が線形であるから有効なのでした。調べたい現象を表す漸化式・微分方程式が線形でない、すなわち非線形なときは、今回の議論は通用しません。非線形方程式を解くのは難しいですが、まずは線形方程式を解く方法を知っておくのが、大事な一歩でしょう。

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